数论笔记

本文是我的数论笔记的第一篇 关于:4k+1型和4k+3型素数

4k+3型素数

命题一

\[ a^2\equiv-1\mod p \]

无解

证明

假设有解，即存在\(a\)使得

\[ a^2\equiv-1\mod p \]

则不妨设\(p=4k+3\)

由费马小定理得：

\[ a^{p-1}\equiv1\mod p \]

但又有：

\[ a^{p-1}=a^{4k+2}=(a^2)^{2k+1}\equiv(-1)^{2k+1}\equiv-1\mod p \]

则矛盾

因此不存在

命题二

\(4k+3\)型的素数有无穷多个

证明

假设只有有限个，易知不可能只有3是\(4k+1\)型素数。则记所有比3大的\(4k+1\)型素数为\(p_1,p_2,\dots,p_k\)

构造一个数: \(4p_1p_2\dots p_k+3\)

则这个数的任何一个素因子均不属于\(\{p_i\}\)

但由于这个数模4余3，则它的素因子不可能都模4余1，否则它也会模4余1

因此它存在至少一个模4余3的素因子，且这个素因子不可能是3

则与所有比3大的\(4k+1\)型素数为\(p_1,p_2,\dots,p_k\)矛盾,因为存在一个新的比3大的\(4k+1\)型素数

4k+1型素数

命题一

存在一个数\(a\)使得\(a^2\equiv-1\mod p\)成立

证明

这个数字就是\((\frac{p-1}{2})!\)

其理由如下：

设\(p=4k+1\)

则由wilson定理得

\[ (p-1)!\equiv-1\mod p \]

即

\[ (p-1)!=(4k)!=(2k)!\times(2k+1)(2k+2)\dots(2k+2k) \]

\[ =(2k)!\times(4k+1-2k)(4k+1-(2k-1))\dots(4k+1-1) \]

\[ =(2k)!\times(-2k)(-(2k-1))\dots(-1)\\=(2k)!\times(2k)!\equiv-1\mod p \]

从而原命题成立

命题二

存在无限多个\(4k+1\)型素数

证明

假设只有有限个，记为\(p_1,\dots,p_k\)

构造一个新的数：\((p_1p_2\dots p_k)^2+1\)

考虑任取这个数的一个素因子\(p\)，易知\(p\notin\{p_i\}\)

则有\((p_1p_2\dots p_k)^2\equiv-1\mod p\)

从而\(p\)一定是\(4k+1\)型的素数

从而矛盾